به اعدادی که صرفاً دو مقسوم علیه دارند، اعداد اول می‌گویند . مثل 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ، 19 ، 23 ، 29 ، 31 ، 37 ، ….
به عبارت دیگر عددی که فقط بر یک و خودش بخش پذیر باشد ، عدد اول است.
آیا می‌توان تعداد اعداد اول   را حساب کرد؟

قبل از پاسخ به این سوال ، باید بررسی کرد که اصولاً اعداد اول می‌توانند شمارا باشند؟ شمارا بودن یعنی اینکه تعداد اعداد اول بی‌نهایت نیست!

پس اگر بتوان ثابت کرد تعداد اعداد اول متناهی  است ، می‌توان در گام بعدی امیدوار به شمردن تعداد آن بود.

حال به نکات زیر توجه کنید.

ادعای اول )

برای هر عدد طبیعی مثل n  دو حالت داریم ، یا خود  n عدد اول است ، یا به صورت مضرب اعداد اول کوچکتر از خودش می‌باشد.

به بیان دیگر اعداد طبیعی یا خود عدد اول هستند ، یا مرکب . مرکب به معنای ترکیب شدن از اعداد اول دیگر است. ( در اینجا ترکیب یعنی ضرب )

مثلاً عدد 9 خودش اول نیست ، ولی به صورت 3X3 نوشته می‌شود که 3  عدد اول است.

عدد 11 خودش اول است.

عدد 34 به صورت حاصل ضرب 2X17  بیان می‌شود که 2 و 17 عدد اول هستند.

توصیه ‌می‌شود ، این ادعا را برای اعدادی مثل 23 ، 24 ، 26 ، 29 چک شود!

ادعای دوم )

هر گاه چند عدد طبیعی دلخواه در هم ضرب شوند، و حاصل ضرب آنها بعلاوه‌ی یک بشود ، عدد بدست آمده بر هیچ کدام از اعداد ابتدای کار بخش پذیر نیست، بلکه
باقیمانده‌ای برابر یک دارد.

فرض کنید  اعدادی مثل 2 و 3 و 5 داریم ،  آنگاه باقیمانده‌ی تقسیم   2X3X5+1 =31 به تمامی اعداد ذکرشده ( 2 ، 3 یا 5 )  برابر یک است!

یا مثلاً اعدادی مثل 5 ، 12 و 2 ،    که نتیجه می‌دهد  2X5X12+1=121  ، که باقیمانده تقسیم 121 بر ( 2 ، 12 یا 5 )  برابر 1 است.

ادعای سوم)

خب، حالا فرض می‌کنیم در میان تمام اعداد طبیعی ما  فقط m  تا عدد اول داریم. (  m  عددی است طبیعی و در ضمن شمارا است.  یعنی بی‌نهایت نیست! )

به عبارت دیگر اعدادی مثل    P1 , P2 , P3 ,… , Pm     تمام اعداد اول را به ما نمایش می‌دهند.

خب بنابر ادعای اول ،  هرعدد دیگری باید مرکب بوده و مضربی از این اعداد باشد. ( چون فرض شده بقیه‌ی اعداد همگی مرکب هستند و تنها   P1 , P2 , P3 ,… , Pm  ، اعداد اول هستند)

حال عددی مثل  P1 P2 P3 …Pm+1 =  A  ( یعنی حاصل ضرب تمام آن اعداد در هم بعلاوه‌ی یک  ) را فرض کنید. خوب می‌دانیم که باقیمانده‌ی تقسیم این عدد به اعداد P1  تا Pm
برابر یک است!

بنابر‌این A    عدد مرکبی است که بر هیچکدام از اعداد اول بخش پذیر نیست!  که این گزاره‌ای غلط است.

پس به طور کل فرض اولیه‌ی مسئله ، یعنی محدود بودن تعداد اعداد اول باطل است.

یعنی تعداد اعداد اول بسیار زیاد هستند!  خیلی زیاد و نامتناهی ….

کوشیار جایی برای یادگیری !

لینک‌های مفید : اعداد اول در ویکی پدیای فارسی