تعداد اعداد اول
به اعدادی که صرفاً دو مقسوم علیه دارند، اعداد اول میگویند . مثل 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ، 19 ، 23 ، 29 ، 31 ، 37 ، ….
به عبارت دیگر عددی که فقط بر یک و خودش بخش پذیر باشد ، عدد اول است.
آیا میتوان تعداد اعداد اول را حساب کرد؟
قبل از پاسخ به این سوال ، باید بررسی کرد که اصولاً اعداد اول میتوانند شمارا باشند؟ شمارا بودن یعنی اینکه تعداد اعداد اول بینهایت نیست!
پس اگر بتوان ثابت کرد تعداد اعداد اول متناهی است ، میتوان در گام بعدی امیدوار به شمردن تعداد آن بود.
حال به نکات زیر توجه کنید.
ادعای اول )
برای هر عدد طبیعی مثل n دو حالت داریم ، یا خود n عدد اول است ، یا به صورت مضرب اعداد اول کوچکتر از خودش میباشد.
به بیان دیگر اعداد طبیعی یا خود عدد اول هستند ، یا مرکب . مرکب به معنای ترکیب شدن از اعداد اول دیگر است. ( در اینجا ترکیب یعنی ضرب )
مثلاً عدد 9 خودش اول نیست ، ولی به صورت 3X3 نوشته میشود که 3 عدد اول است.
عدد 11 خودش اول است.
عدد 34 به صورت حاصل ضرب 2X17 بیان میشود که 2 و 17 عدد اول هستند.
توصیه میشود ، این ادعا را برای اعدادی مثل 23 ، 24 ، 26 ، 29 چک شود!
ادعای دوم )
هر گاه چند عدد طبیعی دلخواه در هم ضرب شوند، و حاصل ضرب آنها بعلاوهی یک بشود ، عدد بدست آمده بر هیچ کدام از اعداد ابتدای کار بخش پذیر نیست، بلکه
باقیماندهای برابر یک دارد.
فرض کنید اعدادی مثل 2 و 3 و 5 داریم ، آنگاه باقیماندهی تقسیم 2X3X5+1 =31 به تمامی اعداد ذکرشده ( 2 ، 3 یا 5 ) برابر یک است!
یا مثلاً اعدادی مثل 5 ، 12 و 2 ، که نتیجه میدهد 2X5X12+1=121 ، که باقیمانده تقسیم 121 بر ( 2 ، 12 یا 5 ) برابر 1 است.
ادعای سوم)
خب، حالا فرض میکنیم در میان تمام اعداد طبیعی ما فقط m تا عدد اول داریم. ( m عددی است طبیعی و در ضمن شمارا است. یعنی بینهایت نیست! )
به عبارت دیگر اعدادی مثل P1 , P2 , P3 ,… , Pm تمام اعداد اول را به ما نمایش میدهند.
خب بنابر ادعای اول ، هرعدد دیگری باید مرکب بوده و مضربی از این اعداد باشد. ( چون فرض شده بقیهی اعداد همگی مرکب هستند و تنها P1 , P2 , P3 ,… , Pm ، اعداد اول هستند)
حال عددی مثل P1 P2 P3 …Pm+1 = A ( یعنی حاصل ضرب تمام آن اعداد در هم بعلاوهی یک ) را فرض کنید. خوب میدانیم که باقیماندهی تقسیم این عدد به اعداد P1 تا Pm
برابر یک است!
بنابراین A عدد مرکبی است که بر هیچکدام از اعداد اول بخش پذیر نیست! که این گزارهای غلط است.
پس به طور کل فرض اولیهی مسئله ، یعنی محدود بودن تعداد اعداد اول باطل است.
یعنی تعداد اعداد اول بسیار زیاد هستند! خیلی زیاد و نامتناهی ….
کوشیار جایی برای یادگیری !
لینکهای مفید : اعداد اول در ویکی پدیای فارسی
دیدگاهتان را بنویسید