مثلث خیام پاسکال

مثلث خیام پاسکال یک ساختار عددی است که خواص بسیار جالبی دارد. این مثلث را در آسیا و اروپا ریاضی ‌دانان مختلفی بررسی کرده‌اند. ایران، هند، چین و ایتالیا از جمله این کشورها هستند. به عنوان مثال پینگالا از هند و عمر خیام از ایران در زمان مشابهی اولین استفاده‌ها از این مثلث را در رساله‌های خود بکار برده‌اند. به عنوان مثال در آثار خواجه نصیر الدین طوسی از مثلث خیام پاسکال برای محاسبه‌ی ضرایب بسط یک عبارت جبری استفاده شده است. 

بعد از خیام، در قرن 12 میلادی،  در آثار یانگ هویی (ریاضی دان چینی) نیز ساختار عددی مثلث خیام پاسکال دیده شده است. در قرن 16 تارتالیا ( ریاضی دان ایتالیایی) و بعد از او پاسکال و نیوتون نیز بر روی مثلث خیام کار کرده‌اند. راجع به این که دانشمندان مختلف به صورت مستقل و بدون آگاهی از کارهای قبل از خودشان به کشف این مثلث رسیده‌اند یا نه اختلافات تاریخی ممکن است وجود داشته باشد. این موضوع را از روی اسامی مختلف این مثلث می‌توان فهمید مثلاً مثلث خیام، مثلث خیام پاسکال، مثلث نیوتون و ….  این موارد نشان می‌دهد که ممکن است به لخاظ تاریخ علم برخی اعتقاد به کشف مستقل این مثلث از سوی دانشمندان مختلف داشته باشند.

اما مثلث خیام چیست؟ این ساختار عددی در اطراف خود اعداد یک را دارد. اما اعداد میانی این مثلث را جمع دو عدد بالاسر بوجود می‌آورد. برای درک بهتر شکل زیر را نگاه کنید:

مثلاً عدد 6 میانی حاصل جمع دو عدد 3 بالا سر خود است. یا عدد 5 حاصل جمع 4 و 1 بالاسر خودش است. اگر دقت کنید این یک ساختار متقارن است. یعنی یک خط تقارن مرکزی می‌توان برای مثلث بالا رسم کرد. مثلاً در سطر پنجم دو عدد 4 در اطراف عدد مرکزی ( عدد 6 ) به صورت متقارن قرار دارند. 

اما خواص این مثلث چیست؟ 

خاصیت اول مثلث خیام پاسکال

ضرایب بسط توان n ام دو جمله‌ای در سطر n+1 قرار دارد.

خاصیت دوم مثلث خیام پاسکال

حاصل توان n ام عدد 2 برابر است با حاصل جمع اعداد واقع در سطر n+1  ام مثلث خیام پاسکال مثلاً حاصل توان چهارم عدد 2  ( دو به توان چهار) برابر است با 16

حال اعداد سطر 4+1 = 5 ام  را با هم جمع می‌کنیم.

1+4+6+4+1=16

خاصیت سوم مثلث خیام 

اعداد مثلثی به ترتیب بر روی سطر مورب از سمت چپ یا راست قرار دارد. 

تعریف اعداد مثلثی 

به حاصل جمع عدد 1 تا n  عدد مثلثی n  ام می‌گوییم. مثلاً عدد مثلثی چهارم برابر است با 1+2+3+4=10

چرا به این اعداد مثلثی می‌گویند؟  

چون تعداد بلوک‌های تشکیل یک مثلث متساوی الاضلاع را شکل می‌دهند.