تعمیم دانش قبلی برای حل مسائل جدید

گاهی با یک نگاه متفاوت می توان مسئله جدید را به حوزه دانش فعلی خود کشید. یا به عبارتی کاربرد دانش خود را تعمیم ( عمومیت بخشیدن )  دهیم.

فرض کنید که می خواهیم مساحت یک دایره را بدون استفاده از فرمول رایج آن بدست آوریم.  ( شعاع *  شعاع * عدد پی )

فرضاً ما تا بحال علم محاسبه مساحت مثلث ، مربع ، مستطیل و چندضلعی های منتظم را داریم

با تبدیل آن ها به چند مثلث  مثل شکل زیر ، می‌توان مساحت چند ضلعی‌ها را حساب کرد.

اما چندضلعی چه ربطی به دایره دارد؟ دایره منحنی است! ولی چند ضلعی خطوط صاف و گوشه دارد.

یک نگاه متفاوت و خوب اینجا نمایان می‌شود که بگوییم یک دایره ، یک بی نهایت ضلعی منتظم است !

اگرشکل زیر در این پست را ببینید ، خواهید دید که چندضلعی منتظم درون دایره و بیرون دایره در شکل زیر

با “””افزایش تعداد ضلع ها””” ، مساحتی برابر مساحت دایره می سازند.

یعنی مساحت هر سه شکل ( بیرونی ، درونی و دایره ) بر هم منطبق می شود.

حال می توان مساحت را برحسب تعداد اضلاع و شعاع دایره نوشت

در اینجا برای محاسبه مساحت هر مثلث

شاید کمی به دانش مثلثات ( سینوس و کسینوس ) احتیاج باشد. ولی تمرکز اصلی ما

بر دیدگاه اصلی راه حل است ، اینکه یک دایره ، یک بی نهایت ضلعی منتظم دیده شود

و بعد که این طور دیدیم ، ما دانش حل چندضلعی ها را به کار می‌بندیم

شاخه حساب دیفرانسیل با چنین نگاهی نمودارهای منحنی را تحلیل می کند! تکه های بسیار ریز منحنی را صاف می بیند!

محاسبه انتگرال

این نوع برخورد را لایب نیتس و نیوتون به کار بردند و توانستند مسئله‌‌ محاسبه‌ی سطح زیر منحنی ( انتگرال ) را برای نمودارهای دارای انحنا حل کنند.

در شکل زیر ایده‌ی ذکر شده در بالا برای محاسبه سطح زیر نمودار به کار رفته است.

با افزایش تعداد مستطیل‌ها و ریزتر شدن عرض آنها می‌توان به تقریب مساحت زیر نمودار را نیز دقیق‌تر حساب کرد.

البته این به نوعی تعمیم در تعمیم است! چون که ما یک بار دیدگاه را ایجاد کردیم ( مساحت دایره ) و بعد این دیدگاه تازه بوجود آمده را در جای دیگر بکار می‌بریم. ( انتگرال )

کوشیار ؛ جایی برای یادگیری!