تعریف اعداد اول 

تعریف اعداد اول، عدد اول چیست؟

به اعدادی که صرفاً دو مقسوم علیه دارند، اعداد اول می‌گویند . مثل 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ، 19 ، 23 ، 29 ، 31 ، 37 ، ….
به عبارت دیگر عددی بزرگتر از یک که فقط بر یک و خودش بخش پذیر باشد ، عدد اول است. 

همچنین می‌توان این گونه تعبیر کرد که عدد اول را نمی‌شود به صورت ضرب اعداد طبیعی کمتر از خودش نوشت. مثلاً عدد 29 را نمی‌توان به صورت ضرب دو عدد که آن ها کمتر از 29 باشند نوشت.

 

عدد مرکب چیست؟

به هر عدد طبیعی بزرگتر از یک که بیش از دو مقسوم علیه داشته باشد (اول نباشد)، مرکب گوییم. مثلاً عدد 4 چون بر 2 بخش پذیر است، مرکب است. یا مثلاً عدد 75 چون بر 5 بخش پذیر است مرکب است. بنابراین می‌توان گفت که اعداد طبیعی بزرگتر از یک یا اول هستند و یا مرکب!

 

آیا عدد یک اول است؟

خیر عدد یک صرفاً یک مقسوم علیه دارد، بنابراین اول نیست.  یک عددی اول نیست. این سوال برای دانش آموزان پایه هفتم مطرح می‌شود که آیا عدد یک عددی اول است؟ و نتیجه می‌شود که خیر اول نیست.

 

آیا عدد یک عددی مرکب است؟

خیر عدد یک مرکب نیست. چرا که بیش از دو مقسوم علیه ندارد. عدد یک صرفاً یک مقسوم علیه دارد.

 

عدد یک نه اول است و نه مرکب

این موضوع طبق استدلال‌های بالا به نحوی اثبات شد. در واقع تعریف اعداد اول را ریاضی دانان به نحوی تغییر دادند که عدد یک جزء اعداد اول به شمار نیاید. این موضوع پیشینه تاریخی دارد و عدد یک به عنوان یک عدد خاص نه جزء اعداد مرکب است و نه عدد اول است.

آیا تمام اعداد اول فرد هستند؟

خیر، تمام اعداد اول فرد نیستند و عدد اول زوج نیز داریم. تنها عدد اولی که زوج است عدد 2 بوده و دیگر اعداد زوج نظیر  4,6,8,10,…  همگی مرکب هستند. اعداد زوج غیر از 2 را می‌توان به صورت ضرب عدد 2 در عددی دیگر نوشت بنابراین اول نیستند.

 

اعداد اول زوج

تنها عدد اول زوج همانگونه که توضیح داده شد، عدد 2 است.

 

فرمول اعداد اول

اعداد اول هیچ فرمول معینی ندارند. یعنی هیچ رابطه مشخصی که اعداد اول را تولید کند نداریم. تا بحال هیچ ادعای اثبات شده‌ای درباره فرمولی که تمام اعداد اول را بی کم و کاست تولید بکند اثبات نشده است.

 

تشخیص اعداد اول

برای تشیص اعداد اول و مشخص کردن آنها الگوریتم‌های زیادی تا بحال پیشنهاد شده است، یکی از این الگوریتم‌ها الگوریتم غربال اراتوستن برای اعداد اول است.

الگوریتم غربال اعداد اول

در این الگوریتم ابتدا مشخص می‌کنیم که به دنبال تعیین اعداد اول بین یک تا چه عددی هستیم. دقت کنید این عدد همواره از یک شروع می‌شود و ابتدای بازه را نمی‌توان تغییر داد، اما در مورد انتهای بازه دستمان باز است و هیچ محدودیتی نداریم. در الگوریتم غربال اراتوستن اعداد غیر اول خط زده می‌شوند و در نهایت اعداد اول بدون خط خوردگی باقی می‌مانند. اما خود الگوریتم غربال اعداد اول بدین صورت است:

1- اعداد را از یک تا شماره 100 می‌نویسیم.

2- عدد یک را خط می‌زنیم، چون اول نیست.

3- عدد 2 را در نظر می‌گیریم و به دور آن یک دایره می‌کشیم و مضارب آن را تا انتها خط می‌زنیم.
یعنی اعداد 4 ، 6 ، 8 ، 10 ، 12 ، …. ، 100  خط می‌خورند.

4- حال به سراغ ابتدای جدول رفته و کوچکترین عدد خط نخورده را پیدا می‌کنیم. به دور آن حلقه کشیده و مضاربش را تا انتها خط می‌زنیم.
(اگر بعد از خط 3 به سراغ این قسمت می‌آیید، اولین عدد خط نخورده اکنون برابر 3 است، پس دور 3 خط کشیده و مضارب آن مثل 6 ، 9 ، 12 ، … ، 99 را خط می‌زنیم. دقت کنید عدد 6 در       هنگام خط زدن مضارب 2 خط خورده بود و نیازی نیست این اعداد دوباره خط بخورند)

 

5- حال برای ادامه باید دستور خط 4 را تا وقتی تکرار کرد که دیگر عددی در جدول نمانده باشد که مضارب آن خط نخورده است.

6- اعدادی که به دور آنها خط کشیدیم اول هستند.

 

مثال الگوریتم غربال برای تشخیص اعداد اول بین 1 تا 20

ابتدا عدد یک تا بیست را می‌نویسیم.

20  19  18  17  16 15  14  13  12  11  10  9  8  7  6  5  4  3  2  1

عدد یک را خط می‌زنیم ( قرمز می‌کنیم )

20  19  18  17  16 15  14  13  12  11  10  9  8  7  6  5  4  3  2  1

به سراغ 2 رفته به دور آن خط کشیده (رنگ آبی) و بقیه مضاربش را خط می‌زنیم (قرمز می‌کنیم)

20  19  18  17  16 15  14  13  12  11  10  9  8  7  6  5  4  3  2  1

حال به سراغ 3 به عنوان کوچکترین عدد خط نخورده در این مرحله رفته و دور آن خط کشیده (آبی)  و مضاربش را خط می‌ زنیم (قرمز). ( شش ، نه ، دوازده ، پانزده و هجده. از این میان شش و دوازده و هجده قبلاً در مضارب 2 خط خورده‌اند )

20  19  18  17  16 15  14  13  12  11  10  9  8  7  6  5  4  3  2  1

حال به سراغ 5 به عنوان کوچکترین عدد خط نخورده در این مرحله رفته و دور آن خط کشیده (آبی)  و مضاربش را خط می‌ زنیم (قرمز). ( ده ، پانزده و بیست که البته همگی قبلاً خط خورده‌اند)

20  19  18  17  16 15  14  13  12  11  10  9  8  7  6  5  4  3  2  1

حال به سراغ 7 به عنوان کوچکترین عدد خط نخورده در این مرحله رفته و دور آن خط کشیده (آبی)  و مضاربش را خط می‌ زنیم (قرمز). ( چهارده که البته قبلاً خط خورده است)

20  19  18  17  16 15  14  13  12  11  10  9  8  7  6  5  4  3  2  1

حال به سراغ 11 به عنوان کوچکترین عدد خط نخورده در این مرحله رفته و دور آن خط کشیده (آبی)  و مضاربش را خط می‌ زنیم (قرمز). (دیگر از اینجا به بعد مضارب اعداد خط نخورده از 20 بزرگتر می‌شود و نیازی به چک کردن نیست)

20  19  18  17  16 15  14  13  12  11  10  9  8  7  6  5  4  3  2  1

حال به سراغ 13 ، 17 ، 19 به عنوان اعداد خط نخورده می‌رویم. از اینجا به بعد مضارب از 20 بزرگتر هستند مثلاً مضرب دوم 13 برابر 26 است و از 20 بزرگتر است، پس دیگر مضربی از این اعداد در بازه یک تا بیست وجود ندارد که خط بخورد. همه این اعداد (یعنی 13 ، 17 ، 19 ) اول هستند.

20  19  18  17  16 15  14  13  12  11  10  9  8  7  6  5  4  3  2  1

 

آیا می‌توان تعداد اعداد اول را حساب کرد؟

قبل از پاسخ به این سوال ، باید بررسی کرد که اصولاً اعداد اول می‌توانند شمارا باشند؟ شمارا بودن یعنی اینکه تعداد اعداد اول بی‌نهایت نیست!

پس اگر بتوان ثابت کرد تعداد اعداد اول متناهی  است ، می‌توان در گام بعدی امیدوار به شمردن تعداد آن بود.

حال به نکات زیر توجه کنید.

 

ادعای اول )

برای هر عدد طبیعی بزرگتر از یک مثل n  دو حالت داریم ، یا خود  n عدد اول است ، یا به صورت مضرب اعداد اول کوچکتر از خودش می‌باشد.

به بیان دیگر اعداد طبیعی بزرگتر از یک یا خود عدد اول هستند ، یا مرکب . مرکب به معنای ترکیب شدن از اعداد اول دیگر است. ( در اینجا ترکیب یعنی ضرب )

مثلاً عدد 9 خودش اول نیست ، ولی به صورت 3X3 نوشته می‌شود که 3  عدد اول است.

عدد 11 خودش اول است.

عدد 34 به صورت حاصل ضرب 2X17  بیان می‌شود که 2 و 17 عدد اول هستند.

توصیه ‌می‌شود ، این ادعا را برای اعدادی مثل 23 ، 24 ، 26 ، 29 چک شود!

 

ادعای دوم )

هر گاه چند عدد طبیعی دلخواه در هم ضرب شوند، و حاصل ضرب آنها بعلاوه‌ی یک بشود ، عدد بدست آمده بر هیچ کدام از اعداد ابتدای کار بخش پذیر نیست، بلکه
باقیمانده‌ای برابر یک دارد.

فرض کنید  اعدادی مثل 2 و 3 و 5 داریم ،  آنگاه باقیمانده‌ی تقسیم   2*3*5+1 =31 به تمامی اعداد ذکرشده ( 2 ، 3 یا 5 )  برابر یک است!

یا مثلاً اعدادی مثل 5 ، 12 و 2 ،    که نتیجه می‌دهد  2*5*12+1=121  ، که باقیمانده تقسیم 121 بر ( 2 ، 12 یا 5 )  برابر 1 است.

 

ادعای سوم)

خب، حالا فرض می‌کنیم در میان تمام اعداد طبیعی ما  فقط m  تا عدد اول داریم. (  m  عددی است طبیعی و در ضمن شمارا است.  یعنی بی‌نهایت نیست! )

به عبارت دیگر اعدادی مثل    P1 , P2 , P3 ,… , Pm     تمام اعداد اول را به ما نمایش می‌دهند.

 

خب بنابر ادعای اول ،  هرعدد دیگری باید مرکب بوده و مضربی از این اعداد باشد. ( چون فرض شده بقیه‌ی اعداد همگی مرکب هستند و تنها   P1 , P2 , P3 ,… , Pm  ، اعداد اول هستند)

حال عددی مثل  P1 P2 P3 …Pm+1 =  A  ( یعنی حاصل ضرب تمام آن اعداد در هم بعلاوه‌ی یک  ) را فرض کنید. خوب می‌دانیم که باقیمانده‌ی تقسیم این عدد به اعداد P1  تا Pm
برابر یک است!

 

بنابر‌این A    عدد مرکبی است که بر هیچکدام از اعداد اول بخش پذیر نیست!  که این گزاره‌ای غلط است.

پس به طور کل فرض اولیه‌ی مسئله ، یعنی محدود بودن تعداد اعداد اول باطل است.

 

یعنی تعداد اعداد اول بسیار زیاد هستند!  خیلی زیاد و نامتناهی …..

 

اعداد اول دو قلو 

به هر زوجی از اعداد اول فرد که فاصله آنها از هم برابر 2 باشد، اعداد دو قلو می‌گویند. مثلاً (3,5)  یا  (19,17)  اعداد اول دو قلو هستند.  برای کسب اطلاعات بیشتر درباره اعداد دو قلو مقاله اعداد اول دو قلو را مطالعه نمایید.

 

 

کوشیار جایی برای یادگیری !

 

لینک‌های مفید : اعداد اول در ویکی پدیای فارسی